BlogMegaSapitri: Matematika

TUGAS MAKALAH

MATEMATIKA ( WAJIB )

Disusun Oleh :

1. MEGA SAPITRI

SMA NEGERI 1 MANDIRANCAN

TAHUN AJARAN 2014/2015

Jl. Siliwangi No. 1 Mandirancan Kecamatan Mandirancan Kabupaten Kuningan Kode Pos 45558

EKSPONEN

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan sebagai berikut:

. Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti

Bilangan

disebut Bilangan Pokok, dan bilangan

disebut Eksponen. Sebagai contoh, pada

, 2 adalah Bilangan Pokok dan 3 Eksponen.

Untuk menghitung

seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga2³. Hasilnya adalah 2.2.2 = 8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

$5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125$
$x^2=x\cdot{} x$
untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut Persegi karena area persegi dihitung menggunakan

. Sehingga

adalah persegi dari

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut Kubik karena volume kubus dihitung dengan

. Sehingga

adalah kubik

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga: $x^{-1}=\frac{1}{x}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$

Jika eksponen sama dengan $\frac{1}{2}$ hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}.$

Contoh:

$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

Dengan cara yang sama, jika eksponen $\frac{1}{n}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Jika eksponen merupakan bilangan rasional $\frac{p}{q}$ , hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

$x=\lim_{n\to\infty}x_n$

seperti ini: $a^x=\lim_{n\to\infty}a^{x_n}$

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

1. (a.b)ⁿ= aⁿ.bⁿ

ⁿ=

a^r.a^s = a^r+s
= a^m-n
a^-n=
(a^r)^s= a^r.s
a⁰₌1

Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

LOGARITMA

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat.

Misalnya : 2⁴ = 16, 2 disebut sebagai Basis, 4 sebagai Pangkat (Eksponen), dan 16 sebagai hasil Pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

2⁴ = 16 ⇔²log 16 = 4

A. Pengertian Logaritma

Operasi logaritma merupakan kebalika (invers) dari perpangkatan.

Jika x = aⁿ maka ^alog x = n, dan sebaliknya jika ^alog x = n maka x = aⁿ. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

^alog x = n ⇔ x = aⁿ

Keterangan:

a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma.

(^alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma. Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut.

• 2^x = 5 ⇔ x = ²log 5 (notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika)

• 3^y = 8 ⇔ y = ³log 8

• 5^z= 3 ⇔ z = ⁵log 3

Catatan:

♦ Jika logaritma dengan basis e (yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler), maka

^elog b ditulis ln b.

♦ Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.

B.Sifat – Sifat Logaritma

Sifat 1.

Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

^alog a = 1, ^alog 1 = 0, log 10 = 1

Bukti:

• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan

itu sendiri.

Jadi, a¹ = a ⇔ ^alog a = 1

• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya

selalu satu.

Jadi, a⁰ = 1 ⇔ ^alog 1 = 0

• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.

Jadi, log 10 = 1

Sifat 2

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x + ^alog y = ^alog x.y

Bukti:

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

^alog y = m ⇔ a^m = y

^alog xy = p ⇔ a^p = xy

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh

xy = aⁿ_a^m

= a^n+m

a^p = a^n+m ⇔ p = n+m

Maka:

n = ^alog x

m = ^alog y

p = ^alog xy,

sehingga : ⇔ n+m=p

⇔ ^alog x + ^alog y = ^alog xy

Sifat 3.

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

^alog x-^alog y = ^alog

Bukti:

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

^alog y = m ⇔ a^m = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

= a^n-m

a^p = a^n-m, maka p = n-m

sehingga, ^alog x – ^alog y = ^alog

Sifat 4.

Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

^alog xⁿ = n ^alog x

Bukti:

^alog xⁿ= ^alog (x x x x x x … x x)

n faktor

= ^alog x + ^alog x +…^alog x

n factor

= n ^a log x

Jadi, ^alog xⁿ = n ^alog x

Sifat 5.

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

log xⁿ=

^a log x

Bukti:

^alog x = p ⇔ a^p = x

log xⁿ= q ⇔ = xⁿ

Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:

xⁿ= a^m.q ⇔ (a^p)ⁿ = a^mq

⇔ a^np = a^mq

⇔ np = mq

⇔ q =

Jadi ,

log xⁿ=

^a log x

Sifat 6.

Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:

^alog x =

Bukti :

^alog x = n ⇔ x = aⁿ

log x = log aⁿ(sifat 4 logaritma)

⇔ n =

⇔ ^alog x =

(terbukti)

Jika p = x maka

^alog x =

Sifat 7.

Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x · ^xlog y = ^alog y

Bukti :

^alog x = p ⇔ a^p = x

^xlog y = q ⇔ x^q = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh :

y= x^p ⇔ y=(a^p)^q

⇔ y=a^pq

⇔ ^alog y = ^alog a^pq

⇔ ^alog y = pq ^alog a

⇔ ^alog y = pq

⇔ ^alog y = ^alog x . ^xlog y

Sifat 8

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

a^{n a}log xⁿ= x

Bukti :

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

x = aⁿ ⇔ x = a^n
alog xⁿ= x

Jadi, a^n
alog xⁿ= x

Sifat 9

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku :

^Bukti :

⇔ ^alog xⁿ = p

xⁿ= a^p

xⁿ =

Jadi,

BlogMegaSapitri

Kamis, 19 November 2015

MATERI MATEMATIKA TENTANG EKSPONEN