MATERI MATEMATIKA TENTANG EKSPONEN

TUGAS MAKALAH

MATEMATIKA ( WAJIB )

Disusun Oleh :

1.      MEGA SAPITRI

SMA NEGERI 1 MANDIRANCAN

TAHUN AJARAN 2014/2015

Jl. Siliwangi No. 1 Mandirancan Kecamatan Mandirancan Kabupaten Kuningan Kode Pos 45558

EKSPONEN

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan sebagai berikut: . Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti .

Bilangan  disebut Bilangan Pokok, dan bilangan  disebut Eksponen. Sebagai contoh, pada , 2 adalah Bilangan Pokok dan 3 Eksponen.

Untuk menghitung seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga2³ . Hasilnya adalah 2.2.2 = 8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.

Contoh:

• 
• 
•  untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut Persegi karena area persegi dihitung menggunakan . Sehingga

adalah persegi dari

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut Kubik karena volume kubus dihitung dengan . Sehingga

 adalah kubik

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga: Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

Jika eksponen sama dengan  hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga

Contoh:

Dengan cara yang sama, jika eksponen  hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

Jika eksponen merupakan bilangan rasional , hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

seperti ini:

Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

1.     (a.b)ⁿ = aⁿ.bⁿ

2.     ⁿ =

3. a^r.a^s = a^r+s
4. = a^m-n
5. a^-n =
6. (a^r)^s = a^r.s
7. a⁰  ₌ 1

Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

LOGARITMA

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat.

Misalnya : 2⁴ = 16, 2 disebut sebagai Basis, 4 sebagai Pangkat (Eksponen), dan 16 sebagai hasil Pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

2⁴ = 16 ⇔²log 16 = 4

A.    Pengertian Logaritma

Operasi logaritma merupakan kebalika (invers) dari perpangkatan.

Jika x = aⁿ maka ^alog x = n, dan sebaliknya jika ^alog x = n maka x = aⁿ. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

^alog x = n ⇔ x = aⁿ

Keterangan:

a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma.

(^alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma. Berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan bentuk-bentuk berikut.

• 2^x = 5 ⇔ x = ²log 5 (notasi ⇔ dibaca jika dan hanya jika)

• 3^y = 8 ⇔ y = ³log 8

• 5^z = 3 ⇔ z = ⁵log 3

Catatan:

♦ Jika logaritma dengan basis e (yaitu e ≈ 2,718…, e adalah bilangan Euler), maka

   ^elog b ditulis ln b.

♦ Bilangan pokok (basis) 10 tidak ditulis, sehingga 10log a = log a.

B.Sifat – Sifat Logaritma

Sifat 1.

Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

^alog a = 1, ^alog 1 = 0, log 10 = 1

Bukti:

• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan

itu sendiri.

Jadi, a¹ = a ⇔ ^alog a = 1

• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya

selalu satu.

Jadi, a⁰ = 1 ⇔ ^alog 1 = 0

• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.

Jadi, log 10 = 1

Sifat 2

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x + ^alog y = ^alog x.y

Bukti:

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

^alog y = m ⇔ a^m = y

^alog xy = p ⇔ a^p = xy

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh

xy        = aⁿ_a^m

= a^n+m

a^p          = a^n+m ⇔ p = n+m

Maka:

n = ^alog x

m = ^alog y

p = ^alog xy,

sehingga  :       ⇔ n+m=p

⇔ ^alog x + ^alog y = ^alog xy

Sifat 3.

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

^alog x-^alog y = ^alog

Bukti:

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

^alog y = m ⇔ a^m = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

   =

     = a^n-m

a^p = a^n-m, maka p = n-m

sehingga, ^alog x – ^a log y = ^alog

Sifat 4.

Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

^alog xⁿ = n ^alog x

Bukti:

^alog xⁿ          = ^alog (x x x x x x … x x)

                                              n faktor

                  = ^alog x + ^alog x +… ^alog x

               n factor

                            = n ^a log x

Jadi, ^alog xⁿ = n ^alog x

Sifat 5.

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

log xⁿ =  ^a log x

Bukti:

^alog x = p ⇔ a^p = x

log xⁿ = q ⇔ = xⁿ

Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:

xⁿ = a^m.q     ⇔ (a^p)ⁿ = a^mq

                       

⇔ a^np   = a^mq

                  ⇔ np   = mq

                  ⇔ q      =  p

Jadi , log xⁿ =  ^a log x

Sifat 6.

Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:

^alog x =  =

Bukti :

^alog x = n ⇔ x = aⁿ

log x = log aⁿ (sifat 4 logaritma)

⇔ n =

⇔ ^alog x =  (terbukti)

Jika p = x maka

^alog x =

 =

Sifat 7.

Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

^alog x · ^xlog y = ^alog y

Bukti :

^alog x = p ⇔ a^p = x

^xlog y = q ⇔ x^q = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh :

y= x^p         ⇔ y=(a^p)^q

                  ⇔ y=a^pq

⇔ ^alog y = ^alog a^pq

                  ⇔ ^alog y = pq ^alog a

                  ⇔ ^alog y = pq

⇔ ^alog y = ^alog x . ^xlog y       

Sifat 8

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

a^{n a}log xⁿ  = x

Bukti :

^alog x = n ⇔ aⁿ = x

x  = aⁿ ⇔ x = a^{n a}log xⁿ  = x

Jadi, a^{n a}log xⁿ  = x

Sifat 9

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku :

^Bukti :

                     ⇔ ^alog xⁿ = p

                                                       xⁿ = a^p

                                                      xⁿ =

Jadi,

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1.     Sederhanakan : 5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
Pembahasan
5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
= 5√4 √6 + 3√3 √18 + 3√3 . 2√32
=5.2 √6 + 3√3 √9√2 + 3√3 .2√16√2
= 10√6 + 3√3 .3√2 + 3√3 . 2 .4√2
= 10√6 + 9√6 + 24√6 = 43√6

2.     Sederhanakan: (1 + 3√2) − (4 − √50)
Pembahasan
(1 + 3√2) − (4 − √50)
= 1 + 3√2 − 4 + √50
= 1 + 3√2 − 4 + √25 √2
= 1 + 3√2 − 4 + 5√2
= − 3  + 8√2 atau = 8√2 – 3

3.     Sederhanakan  ²log 6 + ²log 18 – ²log 27

Pembahasan

²log 6 + ²log 18 – ²log 27 = ²log

= ²log 4

= ² log 2²

= 2. ²log 2

= 2

4.     Jika ⁴log 64 = x. Nilai x adalah...

Pembahasan

            ⁴log 64 = x  à 4^x = 64

                  4^x = 4⁴

5.     Jika log 100 = x.  Nilai x adalah ….

Pembahasan

log 100 = x 

à 10^x = 100^x

 1^x = 2.

6.     Sederhanakan  bentuk rasional 5/√3
Pembahasan
 5/√3
        5     √3      5
= ^_____ x ^___ = ^___ √3
      √3    √3      3

7.     Nilai dari ²log 8⁴ = ….

Pembahasan

 = ²log 8⁴ 

= 2 x ²log 2³

 = 2 x 3

 = 6

8.     2^3. 2²  =.....

Pembahasan

= (2x2x2) x (2x2)

= 2³⁺²  = 2⁵

9.     (3²)³  =.....

Pembahasan

= (3x3)³

= (3x3x3) x (3x3x3) x (3x3x3)

= 3⁶

10.                         √25 =....

 Pembahasan

 = √5²

  = 5

11.                         Bentuk baku dari 0,000009 adalah...

 Pembahasan

 = 9 x10^-5

12.                         Sederhanakan : 5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
 Pembahasan
 5√24 + 3√3(√18 + 2√32)
 = 5√4 √6 + 3√3 √18 + 3√3 . 2√32
 = 5.2 √6 + 3√3 √9√2 + 3√3 .2√16√2
 = 10√6 + 3√3 .3√2 + 3√3 . 2 .4√2
 = 10√6 + 9√6 + 24√6 = 43√6
 = √3 + √9 + √9 √3 = √3 + 3 + 3√3

 = 3 + 4√3

13.                         Nilai dari ²log (8 x 16) = ….

 Pembahasan

            = ²log 8 + ²log 16

            = ²log 2³ + ²log 2⁴

            =  3 + 4

            =  7

14.                         Tentukan nilai dari 3x = 5

 Pembahasan

 3x = 5

  x =

  x = ³log 5

15.                         Tentukan nilai dari ²log (x-3) = 3

 Pembahasan

 x – 3 = 2³

  x - 3 = 8

      x = 11

16.                         Diketahui log 40 = a dan log 2 = b, Tentukan nilai dari log 20.

 Pembahasan

 log 20 = log 40/2

= log 40 − log 2

 = a – b

17.                         Tentukan nilai dari √3log 27 adalah..

 Pembahasan

 √3log 27         = 31/2log 32

= 2/0,5 3log 3

= 2/0,5

= 4

18.                         Nilai dari (√13)² adalah...

 Pembahasan

 √13. √13 = 13

19.                         Nilai dari 84 adalah...

 Pembahasaan

 √81 = 8

20.                         Nilai dari ³log (81 : 27) = ….

 Pembahasan

 = ³log 81 – ³log 27
 = ³log 3⁴ – ³log 3³

 =  4 – 3

 =  1